Câu hỏi
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x\left( 2-\ln x \right)\) trên đoạn \(\left[ 2;3 \right]\) là
- A \(\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=4-2\ln 2\)
- B \(\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=1\)
- C \(\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=e\)
- D \(\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=-2+2\ln 2\)
Phương pháp giải:
- Tính đạo hàm và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng \(0\).
- Tính các giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các nghiệm của đạo hàm.
- Giá trị lớn nhất trong số những giá trị vừa tìm được là GTLN của hàm số trên đoạn \(\left[ a;b \right]\).
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: \(y=x\left( 2-\ln x \right)\) trên \(\left[ 2;3 \right].\)
Có \(y'\left( x \right)=2-\ln x-1=1-\ln x\)
\(y'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 1-\ln x=0\Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow x=e\in \left[ 2;3 \right].\)
Ta có bảng biến thiên:
Vậy \(\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y\left( e \right)=e.\)
Đáp án C.