Phương pháp giải:

Thêm bớt hạng tử để được các hằng đẳng thức.

Sử dụng kết quả \({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+C\ge C\) để tìm \(\min F\) và chú ý tìm điều kiện để dấu “=” xảy rA.

Lời giải chi tiết:

\(F=\frac{{{a}^{4}}}{{{b}^{4}}}+\frac{{{b}^{4}}}{{{a}^{4}}}-\left( \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

\(={{\left( \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right)}^{2}}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-4\ge \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{ab}-4\ge 2-4=-2.\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \left( a,b \right)=\left( -1;1 \right)\) hoặc \(\left( a;b \right)=\left( 1;-1 \right).\)

Vậy \(Mi{{n}_{y}}=-2\) tại \(\left( a,b \right)=\left( -1;1 \right)\)hoặc \(\left( a;b \right)=\left( 1;-1 \right).\)

Đáp án C.