Phương pháp giải:

Bất phương trình dạng \(f\left( x \right) < m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\min f\left( x \right) < m\).

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x \ge 1.\)

Đặt \(f\left( x \right) = x - \sqrt {x - 1} \) . Bất phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi \(\mathop {min}\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) < m\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1}  - 1 = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1}  = 1 \Leftrightarrow x - 1 = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\)

\(f\left( 1 \right) = 1;f\left( {\dfrac{5}{4}} \right) = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \mathop {min}\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = \dfrac{3}{4}.\)

Vậy \(m > \dfrac{3}{4}\). Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Chọn B.