Phương pháp giải:

- Tìm một mặt phẳng chứa \(SK\) mà song song với \(MN\), đó chính là mặt phẳng \(\left( SAD \right)\).

- Từ đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ \(MN\) đến \(mp\left( SAD \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm AD, AC cắt BD tại O. H là hình chiếu vuông góc của O trên SI.

Ta có: \(MN\parallel \left( SAD \right)\).

Suy ra: \(d\left( MN,SK \right)=d\left( MN,\left( SAD \right) \right)=d\left( O,\left( SAD \right) \right)=OH\)

Có:

+)\(OI=\frac{AB}{2}=a;\)

+)\(OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\)

+)\(SO=\sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}-\frac{5{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) 

\(\Rightarrow OH=\frac{OI.SO}{\sqrt{O{{I}^{2}}+S{{O}^{2}}}}=\frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}.\)

Vậy \(d\left( MN,SK \right)=\frac{a\sqrt{21}}{7}.\)

 Đáp án D.