Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc [-1;2].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \), chia đoạn [-1;2] thành các đoạn nhỏ và tính diện tích hình phẳng

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0\, \in \left[ { - 1;2} \right] \hfill \cr   x = 2 \in \left[ { - 1;2} \right] \hfill \cr}  \right.\)

Do đó diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_{ - \,1}^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - \,1}^0 {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x}  + \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x} \)

\( = \left| {\int\limits_{ - \,1}^0 {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} - {x^2}} \right)} \right|_{ - \,1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} - {x^2}} \right)} \right|_0^2} \right| = {4 \over 3} + {4 \over 3} = {8 \over 3}.\)

Chọn A.