Phương pháp giải:

Tính thể tích khối chóp S.ABC và sử dụng tỉ lệ thể tích \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}}\)

Lời giải chi tiết:

 Gọi H là trung điểm của AB, vì tam giac SAB là tam giác đều nên \(SH \bot AB\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác SAB đều cạnh 2a nên

\(SH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 ;\,\,{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.2a.2a = 2{a^2}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 3 .2{a^2} = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

Chọn B.