Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(y'=\frac{1-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\)

TH1: m = 1 ta có y = 1 là hàm hằng và không có giá trị nhỏ nhất (loại)

TH2: m > 1 thì 1 – m <  0 khi đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] tại x = 1. Khi đó ta có:

\(y\left( 1 \right)=\frac{1+m}{1+1}=3\Leftrightarrow m=5\)(thỏa mãn)

TH3: m < 1 thì 1 – m > 0 khi đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] tại x = 0. Khi đó ta có:

\(y\left( 0 \right)=\frac{0+m}{0+1}=3\Leftrightarrow m=3\)(không thỏa mãn)

Vậy m = 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.