Phương pháp giải:

+) Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SH\bot \left( SAB \right)\) với H là trung điểm của AB.

+) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

+) Dựng đường thẳng d qua O và vuông góc với (ABC), khi đó d là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.

+) Dựng mặt phẳng trung trực của (SAB), khi đó mặt phẳng  này cắt SH tại K.

+) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng định lý Pi-ta-go.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó \(SH\bot \left( SAB \right).\)

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với (ABC).

\(\Rightarrow d//SH.\)

Dựng đường trung trực của (SAB), cắt d tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.

Gọi K là giao điểm của SH và mặt phẳng trung trực của (SAB).

\(\Rightarrow \) IKHO là hình chữ nhật, K là trọng tâm tam giác SAB

Khi đó: \(R=SI=IA=IB=IC\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.

Tam giác ABC đều cạnh 1 nên \(CH=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow OC=\frac{2}{3}CH=\frac{\sqrt{3}}{3}.\)

Tam giác SAB đều cạnh 1 nên \(SH=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HK=\frac{1}{3}SH=\frac{\sqrt{3}}{6}=IO\)

Xét tam giác IOC vuông tại O ta có: \(IC=\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{3}{36}+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{5}{12}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\)

\(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{\sqrt{15}}{5} \right)}^{3}}=\frac{5\pi \sqrt{15}}{54}\)

Chọn A