Phương pháp giải:

Nhận xét \({{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - {1 \over {{x^2} + 1}} \Rightarrow \int {{{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  = \int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  - \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx} .\)

Sử dụng phương pháp tích phần từng phần để tính tích phân thứ nhất, đặt \(\left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   dv = {{d\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \cr}  \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - {1 \over {{x^2} + 1}} \Rightarrow \int {{{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  = \int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  - \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx} \,\,\left( 1 \right)\)

Ta tính \(\int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  = \int {{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} \) bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   dv = {{d\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = dx \hfill \cr   v =  - {1 \over {{x^2} + 1}} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \int {{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}}  =  - {x \over {{x^2} + 1}} + \int {{{dx} \over {{x^2} + 1}}}  + C\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\int {{{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  =  - {x \over {{x^2} + 1}} + \int {{{dx} \over {{x^2} + 1}}}  + C - \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx}  =  - {x \over {{x^2} + 1}} + C.\)

Chọn C.