Câu hỏi
Chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy \({{60}^{\circ }}\) . Thể tích khối chóp đó bằng
- A \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}\)
- B \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)
- C \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)
- D \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh với \(H\) là giao của hai đường chéo của đáy thì \(SH\) là đường cao của chóp. Tính \(SH\) và dùng công thức thể tích của hình chóp để tính thể tích.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(H=AC\cap BD.\) Khi đó \(SH\bot \left( ABCD \right).\) Vì góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng \({{60}^{0}}\)nên \(\widehat{SCH}={{60}^{0}}.\)
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABC\)
ta có \(HC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)
Tam giác vuông \(SHC\) vuông tại \(H\) nên
\(\tan \widehat{C}=\frac{SH}{HC}\Rightarrow SH=HC.\tan \widehat{C}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)
Thể tích của hình chóp là \(V=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.\)
Chọn đáp án D.
Câu hỏi trước
