Phương pháp giải:

Xác định đường cao của hình chóp. Dùng định lý Py-ta-go để tính độ dài đường cao này.

Dùng công thức thể tích để tính thể tích của hình chóp

Lời giải chi tiết:

Hạ đường cao \(SH\) xuống cạnh \(BC.\) Nối \(A\) với \(H.\) Hạ đường cao \(SK\) xuống \(AH.\) Ta có \(SH\bot BC\,\left( 1 \right).\) Do \(SBC\)là tam giác cân tại \(S\) nên \(SH\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến. \(ABC\) đều nên \(AH\) là đường cao. Do đó \(AH\bot BC\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) suy ra \(BC\bot \left( AHS \right)\Rightarrow BC\bot SK.\) Mặt khác \(SK\bot AH,\) nên \(SK\bot \left( ABC \right).\) Do đó \(SK\) là đường cao của chóp.

Do \(H\) là trung điểm nên \(HC=\frac{a}{2}.\) Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác \(SHC\) ta có \(SH=\sqrt{S{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.\)

Tương tự ta có \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\) Tương tự các bài trước và từ định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(AKS,\,SKH\) ta có

\(S{{K}^{2}}=S{{H}^{2}}-K{{H}^{2}}=S{{A}^{2}}-A{{K}^{2}}=S{{A}^{2}}-{{\left( AH-KH \right)}^{2}}\Rightarrow KH=\frac{a}{2\sqrt{3}}.\)

Do đó \(SK=\sqrt{S{{H}^{2}}-K{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{7}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{5}{3}}a.\) Từ đó \(V=\frac{1}{3}SK.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}.\left( \sqrt{\frac{5}{3}}a \right)\,.\left( \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}.\)

Chọn đáp án B.