Phương pháp giải:

Chứng minh trung điểm cạnh \(SC\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABCD.\) Dùng định lý Py-ta-go và tính chất tam giác vuông để tính độ dài bán kính.

Lời giải chi tiết:

Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=2a\sqrt{2}.\) Do đó \(SA=2a\sqrt{2}.\) Do \(SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AC.\) Do đó \(\Delta SAC\) là tam giác vuông cân. Gọi \(H\) là trung điểm của \(SC.\) Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD.\) Khi đó \(OH\) là đường trung bình của \(\Delta SAC.\) Do đó \(HO//SA.\) Kết hợp với \(SA\bot \left( ABCD \right)\) ta nhận được \(HO\bot \left( ABCD \right).\) Vì vậy \(HO\bot AC,\,HO\bot BD.\)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(\Delta HOA,\Delta HOB\) ta có \(H{{B}^{2}}=H{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}=H{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}=H{{A}^{2}}.\)

Tương tự ta có \(HA=HB=HC=HD=HS.\) Vậy \(H\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABCD.\)

Ta có \(AH=\frac{1}{2}SC=\frac{1}{2}\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=2a.\) Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABCD\)là \(2a.\)

Chọn đáp án C.