Phương pháp giải:

Tính thể tích S.ABC và tính các đoạn SH, SK rồi dùng công thức tỷ lệ thể tích

Lời giải chi tiết:

Hình chóp S.ABC có diện tích đáy \({{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\) (diện tích tam giác đều cạnh a) và thể tích

\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}.2a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)

∆ SAB vuông tại A có AH ⊥ SB nên

\(\begin{array}{l}SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 5 \\S{A^2} = SH.SB \Rightarrow SH = \frac{{S{A^2}}}{{SB}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{4a\sqrt 5 }}{5}\\ \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{4}{5}\end{array}\)

Tương tự ta có \(\frac{SK}{SC}=\frac{4}{5}\)

Ta có \(\frac{{{V}_{S.AHK}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SH}{SB}.\frac{SK}{SC}=\frac{16}{25}\Rightarrow {{V}_{S.AHK}}=\frac{16}{25}{{V}_{S.ABC}}=\frac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{75}\)

Chọn đáp án A