Câu hỏi
Cho đa giác lồi có n cạnh \(\left( n\ge 4 \right)\), các đường chéo của đa giác cắt nhau tạo thành bao nhiêu giao điểm, biết rằng không có ba đường thẳng nào đồng quy.
- A \(C_{\frac{n\left( n-3 \right)}{2}}^{2}\)
- B \(C_{n}^{2}\)
- C Đáp số khác
- D \(C_{n}^{2}C_{n}^{4}\)
Phương pháp giải:
- Đa giác lồi có số đỉnh và số cạnh bằng nhau.
- Trong đa giác lồi, nối hai đỉnh bất kì không kề nhau sẽ được 1 đường chéo.
- Hai đường chéo bất kì cắt nhau tạo ra một giao điểm nên số giao điểm là tổ hợp chập 2 của số đường chéo
Lời giải chi tiết:
Nối 2 đỉnh bất kì của đa giác ta được số đoạn thẳng là \(C_{n}^{2}\) .
Trong số \(C_{n}^{2}\) đoạn thẳng đó bao gồm các đường chéo của đa giác và n cạnh của đa giác.
Suy ra số đường chéo của đa giác là: \(C_{n}^{2}-n=\frac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}-n=\frac{n\left( n-1 \right)}{2}-n=\frac{{{n}^{2}}-3n}{2}.\)
Vì không có 3 đường chéo nào đồng quy nên cứ 2 đường chéo cắt nhau tạo ra 1 giao điểm. Vậy số giao điểm là \(C_{\frac{n\left( n-3 \right)}{2}}^{2}.\)
Chọn A.