Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) được gọi là hàm số chẵn khi và chỉ khi \(f\left( -x \right)=f\left( x \right)\)

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) được gọi là hàm số lẻ khi và chỉ khi \(f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \,\,\left( k\in Z \right)\Rightarrow D=R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi \,\,\left( k\in Z \right) \right\}\)

\(\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\) ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin x + 2\tan x\\f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right)+ 2\tan \left( { - x} \right) =  - \sin x - 2\tan x =  - f\left( x \right).\end{array}\)

Vậy hàm số là hàm lẻ.

Chọn B.