Phương pháp giải:

Viết dạng tổng quát hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right).\)

Tìm các mối liên hệ hằng số dựa trên điều kiện cho trước.

Lời giải chi tiết:

Gọi parabol cần tìm có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right).\)

Đường thẳng \(y =  - {5 \over 2}\) song song với trục hoành và có một điểm chung duy nhất với (P) nên  đỉnh của (P) thuộc đường thẳng \(y =  - {5 \over 2}.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đường thẳng y = 2 cắt (P) tại hai điểm có hoành độ -1 và 5 nên (P) đi qua các điểm có tọa độ \((-1; 2)\) và \((5; 2)\). Khi đó ta có: \(\left\{ \matrix{  2 = a - b + c \hfill \cr   2 = 25a + 5b + c \hfill \cr}  \right.\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow 24a + 6b = 0 \Leftrightarrow b =  - 4a \Rightarrow  - {b \over {2a}} =  - {{ - 4a} \over {2a}} = 2\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra parabol có đỉnh \(I\left( {2; - {5 \over 2}} \right)\)

Mà \(I\left( {2; - {5 \over 2}} \right) \in \left( P \right)\) từ đó ta có phương trình: \( - {5 \over 2} = 4a + 2b + c\,\,\left( {**} \right)\)

Từ (*) và (**) suy ra \(\left\{ \matrix{  a = {1 \over 2} \hfill \cr   b =  - 2 \hfill \cr   c =  - {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,y = {1 \over 2}{x^2} - 2x - {1 \over 2}.\)

Chọn B.