Phương pháp giải:

Phương pháp. Sử dụng định nghĩa, công thức đạo hàm cơ bản để tính trực tiếp đạo hàm và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có \(x>1\) thì \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+1\) nên \(f'\left( x \right)=2x\Rightarrow f'\left( 2 \right)=2.2=4.\)

Đáp án D đúng.

Tương tự ta có \(f'\left( 0 \right)=2\)

đáp án C đúng.

Ta kiểm tra xem \(f\) có đạo hàm tại \({{x}_{0}}=1\) hay không?

Ta có \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=2.\)

Tương tự ta có \(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( x-1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,2=2.\)

Như vậy \(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=2.\)

Do đó \(f'\left( 1 \right)=2.\)

Đáp án A đúng.

Chọn đáp án B.