Phương pháp giải:

Phương pháp. Xét các trường hợp \(m=1,m>1,m<1.\)

Với mỗi trường hợp ta tính trực tiếp \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min y}}\,,\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max y}}\,.\)

Sử dụng kết quả này để tìm giá trị \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Với \(m=1\) thì \(y=1\) do đó \(m=1\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với \(m>1\) khi đó ta có \(y=\frac{x+m}{x+1}=1+\frac{m-1}{x+1}.\)

Do \(x\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow 1\le x\le 2\Rightarrow \frac{1}{1+2}\le \frac{1}{x+1}\le \frac{1}{1+1}\Rightarrow \frac{m-1}{3}\le \frac{m-1}{x+1}\le \frac{m-1}{2}.\) Vì vậy \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max y}}\,=1+\frac{m-1}{2},\,\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min y}}\,=1+\frac{m-1}{3}.\)

Kéo theo \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min y}}\,+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max y}}\,=\frac{16}{3}\Leftrightarrow \left( 1+\frac{m-1}{3} \right)+\left( 1+\frac{m-1}{2} \right)=\frac{16}{3}\Leftrightarrow \frac{5\left( m-1 \right)}{6}=\frac{16}{3}-2\Leftrightarrow m=5>4.\)

Nếu \(m<1\) lý luận tương tự ta cũng có \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min y}}\,=1+\frac{m-1}{2},\,\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\operatorname{m}\text{ax}y}}\,=1+\frac{m-1}{3}.\)

Trong trường hợp này không tồn tại giá trị của \(m\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án D.