Phương pháp giải:

Đặt \(x=AD.\) Ta thiết lập chi phi theo một hàm của \(x.\) Khảo sát và lập bảng biến thiên cho hàm này trên đoạn \(0<x<9\) để tìm giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta đặt \(x=AD.\) Khi đó ta có \(CD=9-x\,\left( km \right).\)

Do \(\Delta BCD\) vuông tại \(C\) nên áp dụng định lý Py-ta-go ta nhận được \(B{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}={{6}^{2}}+{{\left( 9-x \right)}^{2}}={{x}^{2}}-18x+117\Rightarrow BD=\sqrt{{{x}^{2}}-18x+117}.\)

Chi phí lắp đặt là \(100.000.000x+260.000.000\sqrt{{{x}^{2}}-18x+117}=20.000.000\left( 5x+13\sqrt{{{x}^{2}}-18x+117} \right).\)

Để chi phí là thấp nhất thì ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(f\left( x \right)=5x+13\sqrt{{{x}^{2}}-18x+117},0<x<9.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 5 + \frac{{13\left( {x - 9} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 18x + 117} }}.\\\end{array}\)

do đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 5 + \frac{{13\left( {x - 9} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 18x + 117} }} = 0 \Leftrightarrow 5\sqrt {{x^2} - 18x + 117} = 13\left( {9 - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - x > 0\\{5^2}\left( {{x^2} - 18x + 117} \right) = {13^2}{\left( {9 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 9\\144{x^2} - 2592x + 10764 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6,5 < 9\\x = 11,5 > 9\end{array} \right..\end{array}\)

Như vậy giá trị \(x=11,5\) bị loại.

Ta kiểm tra được \(f'\left( x \right)>0\) trên \(\left( 6,5;9 \right)\) và \(f'\left( x \right)<0\) trên \(\left( 0;6,5 \right)\) do đó \(f\left( x \right)\ge f\left( 6,5 \right),\,\,\forall x\in \left( 0;9 \right).\)

Như vậy hàm \(f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=6,5.\)

Khi đó chi phí lắp đặt sẽ nhỏ nhất.

Do đó khoảng cách \(AD\) tìm được khi chi phí thấp nhất là \(6,5km.\)

Chọn đáp án D.