Phương pháp giải:

Tìm tập xác đinh của hàm số.Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\frac{2x+1}{x-2}=x+m\)có hai nghiệm phân biệt.Giải và biện luận hệ này để tìm giá trị của \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định \(x\ne 2.\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\frac{2x+1}{x-2}=x+m\) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta cần

\(2x+1=\left( x-2 \right)\left( x+m \right)\Leftrightarrow 2x+1={{x}^{2}}+mx-2x-2m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-4 \right)x-\left( 2m+1 \right)=0\,\left( 1 \right)\)

có hai nghiệm phân biệt khác \(2.\)

Do \({{2}^{2}}+\left( m-4 \right).2-\left( 2m+1 \right)=-5\ne 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) nếu có nghiệm thì các nghiệm này sẽ khác \(2.\)

 Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta ={{\left( m-4 \right)}^{2}}+4\left( 2m+1 \right)={{m}^{2}}+20>0.\)

 Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt. Hơn nữa ta tìm được hai nghiệm này là

\({x_1} = \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2},{x_2} = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2}.\)

 Ta lại có

\(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_1} = 2 - \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} = \frac{{m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\\{x_2} - 2 = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} - 2 = \frac{{ - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} < 2 < {x_2}.\)

Do đó \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) nằm về hai nhánh của đồ thị \(\left( C \right)\) với mọi \(m\in R.\)                       

Chọn đáp án A.