Phương pháp giải:

Xác định tâm \(O\) của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Áp dụng giả thiết và định lý Py-ta-go để tính bán kính \(R\)  mặt cầu này.

Sau đó áp dụng công thức thể tích của mặt cầu \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\)  để tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC,\)

Khi đó tâm \(O\) mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều

thuộc đường thẳng đi qua \(E\) và vuông góc với mặt \(\left( ABC \right).\)

 Gọi \(H\) là trung điểm của \(AA'\) khi đó \(O\) thuộc đường thẳng

qua \(H\) và vuông góc với \(AA'.\)

Từ đó \(AEOH\) là hình chữ nhật và \(AO=R\) là bán kính

mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều.

Trong tam giác đều \(ABC\) ta tính được \(AE=\frac{\sqrt{3}}{3}AB=\frac{\sqrt{3}a}{3}\,\,.\) Do \(H\) là trung điểm của \(AA'\) nên \(AH=\frac{b}{2}\,\,.\)

\(\Delta AEO\) vuông tại \(E\) nên áp dụng định lý Py-ta-go ta nhận được

\(AO=\sqrt{A{{E}^{2}}+E{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{3}a}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\sqrt{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}\,\,\left( 1 \right).\)

Thể tích của mặt cầu cần tính là

\(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{1}{2\sqrt{3}}\sqrt{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}} \right)}^{3}}=\frac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.\)

Chọn đáp án B.