Phương pháp giải:

Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý Py-ta-go để tìm bán kính \(R\) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Sau đó áp dụng công thức diện tích mặt cầu \(4\pi {{R}^{2}}\) để tính diện tích.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều

\(S.ABC.\) Khi đó diện tích mặt cầu \(\left( O;R \right)\) là \(4\pi {{R}^{2}}.\)

 Ta cần tính \(R=SO.\) Ta có \(SI=1\,\left( cm \right),\,AB=\sqrt{6}\,\left( cm \right).\)

Ta tính được \(AI=\frac{\sqrt{3}}{3}AB=\frac{\sqrt{3}}{3}.\sqrt{6}=\sqrt{2}\,\left( cm \right).\)

Do \(\Delta AIO\) vuông tại \(I\) nên áp dụng định lý Py-ta-go ta nhận được

\(A{{O}^{2}}=O{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}={{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+O{{I}^{2}}=2+O{{I}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}=2+O{{I}^{2}}\,\,\left( 1 \right).\)

Ta lại có \(h=SI=SO-OI=R-OI\Rightarrow 1=R-OI\,\Rightarrow OI=R-1\,\left( 2 \right).\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \({{R}^{2}}=2+{{\left( R-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}=2+\left( {{R}^{2}}-2R+1 \right)\Leftrightarrow 2R=3\Leftrightarrow R=\frac{3}{2}.\)

Vậy diện tích cần tìm là: \(S=4\pi {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}=9\pi \,\left( c{{m}^{2}} \right).\)

Chọn đáp án A.