Phương pháp giải:

Tính thể tích khối lăng trụ. Do chiều cao của lăng trụ cố định nên để thể tích lăng trụ là lớn nhất thì diện tích đáy phải lớn nhất. Ta đi tính diện tích đáy, sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của diện tích đáy.

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối lăng trụ là: \(V=BC.{{S}_{AEG}}=30{{S}_{AEG}}.\) Theo giả thiết ta phải có \(2x<30\Leftrightarrow x<15.\)

Ta có tam giác \(\Delta AEG\) có độ dài các cạnh là \(AE=AG=x\,\left( cm \right),EG=30-2x\,\left( cm \right)\) nên diện tích là

\(S=\sqrt{15\left( 15-x \right)\left( 15-x \right)\left[ 15-\left( 30-2x \right) \right]}=\sqrt{15{{\left( 15-x \right)}^{2}}\left( 2x-15 \right)}\,\left( c{{m}^{2}} \right)\,\,\left( 1 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( \sqrt{15-x},\sqrt{15-x},\sqrt{2x-15} \right)\) ta nhận được

\(\sqrt{{{\left( 15-x \right)}^{2}}\left( 2x-15 \right)}=\sqrt{\left( 15-x \right)\left( 15-x \right)\left( 2x-15 \right)}\le \sqrt{{{\left( \frac{\left( 15-x \right)+\left( 15-x \right)+\left( 2x-15 \right)}{3} \right)}^{3}}}=\sqrt{{{5}^{3}}}\,\,\left( 2 \right).\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(S\le \sqrt{15}.\sqrt{{{5}^{3}}}=25\sqrt{3}.\) Do đó \(V\le 30.25\sqrt{3}=750\sqrt{3}\,\left( c{{m}^{3}} \right).\)

Giá trị lớn nhất của thể tích đạt được khi và chỉ khi diện tích \({{S}_{AEG}}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó ta phải có \(\left\{ \begin{array}{l}15 - x = 2x - 15\\0 < x < 15\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 10\,\,\left( {cm} \right)\)

Chọn đáp án D.