Phương pháp giải:

Để đường thẳng \(d:y = {f_1}\left( x \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( {x,m} \right)\) tại \(k\) điểm phân biệt thì phương trình \({f_1}\left( x \right) = f\left( {x;m} \right)\) cần có \(k\)  nghiệm phân biệt khác \(2\)

Áp dụng bài toán ta cần tìm điều kiện để \( - 2x + m = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) có hai nghiệm phân biệt. Đưa phương trình về dạng bậc hai và sử dụng kết quả cho phương trình bậc 2 đã học để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Để đường thẳng \(y = - 2x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)  tại hai điểm phân biệt thì phương trình\( - 2x + m = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta có

\(- 2x + m = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 2x\left( {x - 2} \right) + m\left( {x - 2} \right) = x + 1\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + \left( {2m + 1} \right) = 0\,\left( 1 \right)\\x \ne 2\end{array} \right..\)

Phương trình \(1\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta = {\left( {m + 3} \right)^2} - 4.2.\left( {2m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 5 + 2\sqrt 6 \\m < 5 - 2\sqrt 6 \end{array} \right..\)

Lưu ý rằng \({{2.2}^{2}}-\left( m+3 \right).2+\left( 2m+1 \right)=1\ne 0,\,\,\forall m\in \mathbb{R}\) nên khi đó phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm này sẽ khác \(2.\) Vậy tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để đường thẳng \(y = - 2x + m\) cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm phân biệt là \(m \in \left( { - \infty ;5 - 2\sqrt 6 } \right) \cup \left( {5 + 2\sqrt 6 ; + \infty } \right).\)

Chọn đáp án A.