Phương pháp giải:

Cách 1. Đưa về dạng \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 3x}}{2} = - m.\)

Tìm cực đại \(b\) và cực tiểu \(a\) Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì \(a < - m < b.\)

Cách 2.Đưa phương trình đã cho về phương trình dạng \(f\left( x \right) = m.\) Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và dựa vào đồ thị để giải. Cụ thể trong bài này để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì đường thẳng \(y = - m\) phải cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}\) tại ba điểm.

Lời giải chi tiết:

Để phương trình \({x^3} - 3x + 2m = 0\) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình \( - m = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}\) cần có ba nghiệm phân biệt. Đặt \(y = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}.\)

Cách 1. Khi đó điều kiện cần và đủ cho \( - m = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}\) có ba nghiệm phân biệt là \( - m \in \left( {a;b} \right)\) trong đó \(a,\,b\) tương ứng là giá trị cực tiểu và cực đại (địa phương) của \(y = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}.\)

Ta có \(y' = \frac{{3{x^2} - 3}}{2},\,y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)

Tính đạo hàm cấp 2. Ta có \(y'' = \frac{{6x}}{2} = 3x.\) Khi đó \(y''\left( { - 1} \right) = 3\left( { - 1} \right) = - 3 < 0\)

 nên \(x = - 1\) là giá trị làm cho \(y\) đạt cực đại và giá trị cực đại là \(b = y\left( { - 1} \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} - 3\left( { - 1} \right)}}{2} = 1.\)

Ta có \(y''\left( 1 \right) = 3.1 = 3 > 0\) nên \(x = 1\)  là giá trị làm cho \(y\)  đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu là \(a = y\left( 1 \right) = \frac{{{1^3} - 3.1}}{2} = - 1.\)

Do đó \( - 1 < - m < 1 \Leftrightarrow - 1 < m < 1.\)

Cách 2. Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}.\) để nhận được kết quả tương tự cách 1.

Chọn đáp án B.