Câu hỏi
Cho hàm số \(f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}-x}.\) Tập nghiệm S của bất phương trình \({{f}^{'}}(x)\le f(x)\) là:
- A \(S=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left[ \frac{2+\sqrt{2}}{2};+\infty \right).\)
- B \(S=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;+\infty \right).\)
- C \(S=\left( -\infty ;\frac{2-\sqrt{2}}{2} \right]\cup \left[ \frac{2+\sqrt{2}}{2};+\infty \right).\)
- D \(S=\left( -\infty ;\frac{2-\sqrt{2}}{2} \right]\cup \left( 1;+\infty \right).\)
Lời giải chi tiết:
Phương pháp: Tính f’(x) sau đó giải bất phương trình.
Cách giải
TXĐ:\(D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
Ta có
\(f'\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x} }}\)
\(f'\left( x \right) \le f\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x} }} \le \sqrt {{x^2} - x} \)
\(DK:\,x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x} }} - \sqrt {{x^2} - x} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2x - 1 - 2\left( {{x^2} - x} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} - x} }} \le 0\\ \Leftrightarrow 2x - 1 - 2\left( {{x^2} - x} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + 4x - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right)\end{array}\)
Kết hợp điều kiện ta có:\(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left[ {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right)\)
Chọn A.
