Lời giải chi tiết:

Phương pháp:

- Công thức tính diện tích và chu vi hình tròn: \(S=\pi {{R}^{2}},C=2\pi R\).

- Công thức tính diện tích và chu vi hình vuông: \(S={{a}^{2}},C=4a\).

Cách giải:

Gọi chiều dài đoạn uốn thành hình vuông là \(x\) mét thì chiều dài đoạn uốn thành hình tròn là \(1-x\) mét.

Cạnh hình vuông là \(\frac{x}{4}\) nên diện tích hình vuông là \(\frac{{{x}^{2}}}{16}\).

Bán kính hình tròn là \(\frac{1-x}{2\pi }\) nên diện tích hình tròn là \(\pi .{{\left( \frac{1-x}{2\pi } \right)}^{2}}=\frac{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{4\pi }\).

Xét hàm \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{4\pi }\) có \(f'\left( x \right)=\frac{x}{8}+\frac{x-1}{2\pi }=0\Leftrightarrow x=\frac{4}{\pi +4}\).

Do đó \(f\left( x \right)\) đạt GTNN tại \(x=\frac{4}{\pi +4}\Rightarrow 1-x=1-\frac{4}{\pi +4}=\frac{\pi }{\pi +4}\).

Vậy tỉ số đoạn thứ nhất nhất và đoạn thứ hai là  \(\frac{\pi }{{\pi  + 4}}:\frac{4}{{\pi  + 4}} = \frac{\pi }{4}\)

Chọn D.