Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ, xét hàm.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Khi m = 1 ta có: y = 1 là hàm hằng nên m = 1 không thỏa mãn.

Khi \(m\ne 1\). Đặt \(t=\cos x\). Vì \(x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)  nên \(t\in \left( 0;1 \right)\).

Xét hàm \(y = \frac{{t - 1}}{{t - m}}\,\,\,\,\left( {TXD:\,\,D = R\backslash \left\{ m \right\}} \right)\) có \(y'=\frac{t-m-t+1}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}=\frac{1-m}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}\).

Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\) thì hàm số \(y=\frac{t-1}{t-m}\) nghịch biến trên \(\left( 0;1 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - m < 0}\\{m \notin \left( {0;1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\Leftrightarrow m > 1\)

Cách 2:

Khi m = 1 ta có: y = 1 là hàm hằng nên m = 1 không thỏa mãn.

Khi \(m \ne 1\). Ta có \(y' = \frac{{ - \sin x\left( {\cos x - m} \right) + \left( {\cos x - 1} \right)\sin x}}{{{{\left( {\cos x - m} \right)}^2}}} = \frac{{m\sin x - \sin x}}{{{{\left( {\cos x - m} \right)}^2}}}\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\m \ne \cos x\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x\left( {m - 1} \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)

Do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \sin x > 0 \Rightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow m > 1\)  

Chọn B.

Chọn B.