Lời giải chi tiết:

Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm logarit ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = \ln \left( {2x + 1} \right) \hfill \cr   {\rm{d}}v = {\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = {{2\,{\rm{d}}x} \over {2x + 1}} \hfill \cr   v = x \hfill \cr}  \right.,\) khi đó \(I = \left. {x.\ln \left( {2x + 1} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{{2x} \over {2x + 1}}{\rm{d}}x} \).

\( = \ln 3 - \int\limits_0^1 {\left( {1 - {1 \over {2x + 1}}} \right){\rm{d}}x}  = \ln 3 - \left. {\left( {x - {1 \over 2}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1 = \ln 3 - \left( {1 - {1 \over 2}\ln 3} \right) = {3 \over 2}\ln 3 - 1.\)

Mặt khác \(I = a\ln 3 - b,\) với \(a,\,\,b \in Q \Rightarrow \,\,\left\{ \matrix{  a = {3 \over 2} \hfill \cr   b = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow ab = {3 \over 2}.\)

Chọn C.