Lời giải chi tiết:

Phương pháp: Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân \(f'\left( x \right)dx\) thì ta đặt \(dv = f'\left( x \right)dx\).

Và sử dụng công thức \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b\).

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = g\left( x \right) \hfill \cr  {\rm{d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = g'\left( x \right){\rm{d}}x \hfill \cr   v = f\left( x \right) \hfill \cr}  \right..\)

Khi đó \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right).f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left[ {g\left( x \right).f\left( x \right)} \right]} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {g'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x}  \Leftrightarrow \left. {\left[ {g\left( x \right).f\left( x \right)} \right]} \right|_0^1 = 3.\)

Mặt khác \(I = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }\,{\rm{d}}x}  = \left. {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} \right|_0^1\,\, \Rightarrow \,\,I = 3.\)

Chọn C.