Lời giải chi tiết:

Phương pháp: Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm logarit ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = \ln x \hfill \cr   {\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = {{{\rm{d}}x} \over x} \hfill \cr   v = {{{x^2}} \over 2} \hfill \cr}  \right.,\) khi đó \(I = \left. {{{{x^2}\ln x} \over 2}} \right|_1^e - {1 \over 2}\int\limits_1^e {x\,{\rm{d}}x}  = \left. {\left( {{{{x^2}\ln x} \over 2} - {{{x^2}} \over 4}} \right)} \right|_1^e = {{{e^2} + 1} \over 4}.\)

Chọn C.