Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang cân, \(AD = 2AB = 2BC = 2CD = 2a\). Hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Gọi \(M,{\text{ }}N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(CD\). Tính \(cosin\) góc giữa \(MN\) và \(\left( {SAC} \right)\), biết thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
- A \(\dfrac{{\sqrt {310} }}{{20}}\)
- B \(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\)
- C \(\dfrac{{3\sqrt {310} }}{{20}}\)
- D \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{{10}}\)
Lời giải chi tiết:
Phương pháp:
Gọi \(O\) là trung điểm \(ÁC\)
\(M’, N’\) lần lượt là trung điểm \(SO, ND\)
\(H\) là trung điểm \(AO\)
Chứng minh được \(MN//M'N'\) (vì \(MM'//BO//NN'\) và \(MM' = NN' = \dfrac{1}{2}BO\) nên \(MM'N'N\) là hình bình hành, do đó \(MN//M'N'\))
\(N'C \bot M'C\) (vì \(AC \bot CD\))
Góc giữa \(MN\) và \((SAC)\) là góc \(\alpha = \widehat {CM'N'}\).
Ta có \({S_{ABCD}} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow SA = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = a\)
\(\begin{array}{l}M'H = \dfrac{{SA}}{2} = \dfrac{a}{2}\\CH = \dfrac{3}{4}CA = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4}\\M'C = \sqrt {M'{H^2} + C{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt {31} }}{4}\\CN' = \dfrac{3}{4}CD = \dfrac{{3a}}{4}\\M'N' = \sqrt {M'{C^2} + CN{'^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\\\cos \alpha = \dfrac{{M'C}}{{M'N'}} = \dfrac{{\sqrt {310} }}{{20}}\end{array}\)
Chọn đáp án A
Câu hỏi trước
