Lời giải chi tiết:

Phương pháp:

Phát biểu “Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại \({x_0}\) khi và chỉ khi \({x_0}\) là nghiệm của đạo hàm” là sai vì tồn tại hàm số có cực trị tại điểm \({x_0}\) không phải là nghiệm của đạo hàm (chẳng hạn hàm \(y = \left| x \right|\) đạt cực trị tại \(x = 0\) mà không có đạo hàm tại điểm đó)

Phát biểu “Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì hàm số đạt cực đại tại \({x_0}\)” là sai vì nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \({x_0}\)

Phát biểu “Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì \({x_0}\) không phải là cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đã cho” là sai vì tồn tại hàm số, chẳng hạn \(y = {x^4}\) có \(f’(0) = 0\) và \(f’’(0) = 0\) và \(x = 0\) là cực trị của hàm số đó.

Phát biểu “Nếu \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi \(x\) qua điểm \({x_0}\) và \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}\).” là đúng.

Chọn đáp án D