Phương pháp giải:

Hàm đa thức bậc ba \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\,\left( a\ne 0 \right)\,\,\left( C \right)\) có 2 cực trị thuộc về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Số giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình \(a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0\)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5x+1=0\) ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đáp án A đúng. Do đó C sai.

Dễ thấy điểm \(A\left( 1;0 \right)\) không thuộc đồ thị hàm số vì \(\frac{1}{3}-3+5+1=\frac{10}{3}\ne 0\). Do đó D sai.

Ta có: \(y'={{x}^{2}}-6x+5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=5 \\ & x=1 \\\end{align} \right.\) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên hai cực trị cùng nằm và bên phải trục tung. Do đó B sai.

Chọn A.