Phương pháp giải:

+) Gọi A, B là giao điểm của d với các trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm A, B.

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

+) Áp dụng BĐT Bunhiacopxi.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi A và B  lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Ox, Oy.

Khi đó, \(A\left( {{{m - 1} \over m};\,\,0} \right),\,\,\,\,B\left( {0;\,\, - m + 1} \right)\). Gọi H là hình chiều của O lên đường thẳng (d) thì OH chính là khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng (d).

Xét tam giác vuông OAB có \({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} \Leftrightarrow OH = {{OA.OB} \over {\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }}\).

Suy ra \(O{H_{\max }} \Leftrightarrow {\left( {{{OA.OB} \over {\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }}} \right)_{\max }}\).

Ta có \({{OA.OB} \over {\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }} = {{\left| {{{m - 1} \over m}} \right|\left| { - m + 1} \right|} \over {\sqrt {{{\left( {{{m - 1} \over m}} \right)}^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = {{{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over {\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2}\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = {{\left| {m - 1} \right|} \over {\sqrt {1 + {m^2}} }}\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì \({{\left| {m - 1} \right|} \over {\sqrt {1 + {m^2}} }} \le {{\sqrt 2 \sqrt {1 + {m^2}} } \over {\sqrt {1 + {m^2}} }} = \sqrt 2 \).

Vậy \(O{H_{\max }} = \sqrt 2 \) và đạt được khi \(m =  - 1\).

Chọn D.