Phương pháp giải:

Nhân liên hợp.

Chia cả tử và mẫu cho x.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  - 2ax} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4{x^2} + bx + 2 - 4{a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  + 2ax}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4{x^2} + bx + 2 - 4{a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  + 2ax}}\end{array}\)

Để giới hạn trên bằng 4 thì bậc của tử và mẫu phải bằng nhau. Tức là không còn \({x^2}\). Do đó \({a^2} = 1\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  - 2ax} \right) = 4\) nên a > 0 (vì nếu a< 0 thì giới hạn trên bằng vô cùng). Do đó a=1.

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4{x^2} + bx + 2 - 4{a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  + 2ax}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{bx + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + bx + 2}  + 2ax}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\left( {b + \dfrac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{b}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}}  + 2a} \right)}}\\ = \dfrac{b}{{2 + 2a}} = 4\\ \Leftrightarrow b = 8 + 8a = 16 \Rightarrow a + b = 17\end{array}\)

Phương pháp giải:

Gọi điểm trên hoành độ là \(A\left( {a;0} \right)\).

Tính y’.

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm trên hoành độ là \(A\left( {a;0} \right)\).

\(y' =  - 3{x^2} + 3\).

Gọi \({x_0}\) là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến.

\( \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {3 - 3{x_0}} \right)\).

Khi đó tiếp tuyến tại \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:

\(y = \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {3 - 3{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) - {\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\left( {{x_0} - 2} \right)\)

Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {a;0} \right)\) nên phương trình:

\(0 = \left( {{x_0} + 1} \right)\left( {3 - 3{x_0}} \right).\left( {a - {x_0}} \right) - {\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\left( {{x_0} - 2} \right)\) luôn có 3 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0 = f\left( {{x_0}} \right)\)