Phương pháp giải:

+ Tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = mx$ và đồ thị hàm số $y = {x^2}$ .

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = f\left( x \right)$ ($m$ là tham số dương) và đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$ và các đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$bằng $I = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Giải phương trình $I = 1$ tìm m.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = mx$ và đồ thị hàm số $y = {x^2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} = mx \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m\end{array} \right.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = mx$ ($m$ là tham số dương) và đồ thị hàm số $y = {x^2}$ bằng

$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^m {\left| {{x^2} - mx} \right|dx} \\ = \int\limits_0^m {\left( {mx - {x^2}} \right)dx} \\ = \frac{{{m^3}}}{6}\\ \Rightarrow \frac{{{m^3}}}{6} = 1 \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{6}\end{array}$