Phương pháp giải:

+) Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp để tính$g'(x)$: $g{'_x} = u{'_x}.g{'_u}$.

+) Phương trình bậc hai có tối đa 2 nghiệm phân biệt.

+) Số các số nguyên từ m đến n là: n-m+1 số.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}f'(1) = f'(2) = 0\\g(x) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\\g'(x) = (2x + 4) \cdot f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\\g'(x) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right) = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}$

(1) có tối đa nghiệm khi và chỉ khi cả 2 phương trình

$\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x - m = 1\\{x^2} + 4x - m = 2\end{array} \right.$ đều có 2 nghiệm.

${x^2} + 4x - m = 1$ có 2 nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ' = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m >  - 5$

${x^2} + 4x - m = 2$ có 2 nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ' = m + 6 > 0 \Leftrightarrow m >  - 6$

Vậy $m >  - 5$

Mà $m \in \left[ { - 21;21} \right]$ nên $m$ là các số nguyên từ -4 đến 21.

Số các giá trị của m là 21-(-4)+1=26.