Lời giải chi tiết:

Đặt \(h\left( x \right) = \dfrac{{mx - 2\sqrt {x + 4} }}{{2x + 4}}\). Ta có: \(h\left( 0 \right) = \dfrac{{m.0 - 2\sqrt {0 + 4} }}{{2.0 + 4}} =  - 1 < 0\), do đó:

Bài toán tương đương với \(h\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\) (1) và \(h\left( x \right) >  - 1\) có nghiệm trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) (2)

*) Giải (1):

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{2\sqrt {x + 4} }}{x},\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right]\\m > \dfrac{{2\sqrt {x + 4} }}{x},\,\forall x \in \left[ { - 1;0} \right)\end{array} \right.\)

Do \(g\left( x \right) = \dfrac{{2\sqrt {x + 4} }}{x}\) có \(g'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{{\sqrt {x + 4} }}.x - 2\sqrt {x + 4} }}{{{x^2}}} = \dfrac{{ - x - 8}}{{\sqrt {x + 4} .{x^2}}} < 0,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\) nên suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}m < g\left( 1 \right)\\m > g\left( { - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2\sqrt 3  < m < 2\sqrt 5  \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2;...;4} \right\}\)

*) Giải (2):

Do \(h\left( 1 \right) = \dfrac{{m - 2\sqrt 5 }}{6},\,\,h\left( { - 1} \right) = \dfrac{{ - m - 2\sqrt 3 }}{{ - 2}}\) nên \(3h\left( 1 \right) + h\left( { - 1} \right) =  - \sqrt 5  - \sqrt 3  >  - 4\) nên có ít nhất một trong hai số \(h\left( 1 \right)\) , \(h\left( { - 1} \right)\) lớn hơn -1 \( \Rightarrow \) (2) luôn đúng.

Vậy, \(m \in \left\{ { - 3; - 2;...;4} \right\}\): 8 giá trị.

Chọn B.