Phương pháp giải:

- Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) và xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]\).

- Tính \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right),\,\,f\left( 2 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

- Kết luận: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( {\dfrac{1}{2}} \right);\,\,f\left( 2 \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( {\dfrac{1}{2}} \right);\,\,f\left( 2 \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định trên \(\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]\).

Ta có \(y' = 2x - \dfrac{2}{{{x^2}}} = \dfrac{{2\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^2}}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]\).

Ta có \(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{{17}}{4};\,\,y\left( 2 \right) = 5,\,\,y\left( 1 \right) = 3\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 5,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y = y\left( 1 \right) = 3\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y.\mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y = 5.3 = 15\).

Chọn B.