Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)

+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - 4x + 3}}\) ta có:

TXĐ:  \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;\,\,3} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - 4x + 3}} = 0\) \( \Rightarrow y = 0\) là TCN của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - 4x + 3}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{x - 3}} =  - \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow x = 1\) không là TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - 4x + 3}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{1}{{x - 3}} = \infty \) \( \Rightarrow x = 3\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 TCĐ là \(x = 3\) và 1 TCN là \(y = 0.\)

Chọn A.