Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = 5 - 2\sqrt {1 + 3\cos x} \), cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

- Khảo sát hàm số \(t\left( x \right)\), tìm khoảng giá trị của \(t\) và xét xem ứng với mỗi giá trị \(t\) thuộc những khoảng nào thì cho bao nhiêu giá trị \(x\).

- Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( t \right)\) trên khoảng tìm được, tìm điều kiện của \(m\) để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 5 - 2\sqrt {1 + 3\cos x} \), phương trình trở thành \(7f\left( t \right) = 3m - 10 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \dfrac{{3m - 10}}{7}\,\,\,\left( * \right)\).

Ta có \(t'\left( x \right) =  - 2.\dfrac{{ - 3\sin x}}{{2\sqrt {1 + 3\cos x} }} = \dfrac{{3\sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}\).

Cho \(t'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \), mà \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) nên \(x = 0\).

BBT:

\( \Rightarrow t \in \left[ {1;3} \right]\) và với mỗi giá trị \(t \in \left( {1;3} \right]\) cho hai nghiệm \(x\), với \(t = 1\) cho 1 nghiệm \(x = 0\).

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất \(t \in \left( {1;3} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {1;3} \right]\), phương trình (*) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < \dfrac{{3m - 10}}{7} \le 0\\\dfrac{{3m - 10}}{7} =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \dfrac{4}{3} < m \le \dfrac{{10}}{3}\\m =  - 6\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3; - 6} \right\}\).

Vậy có \(6\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.