Phương pháp giải:

- Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( { - 2x} \right)\).

- Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\).

- Tính các giá trị \(g\left( { - 1} \right),\,\,g\left( {\dfrac{1}{2}} \right),\,\,g\left( {{x_i}} \right)\) và kết luận GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( { - 2x} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) =  - 2f'\left( { - 2x} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị \(x =  - 1,\,\,x = 0,\,\,x = 2\).

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( { - 2x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x =  - 1\\ - 2x = 0\\ - 2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2} \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\\x = 0 \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\\x =  - 1 \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\end{array} \right.\).

Ta có \(g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = f\left( { - 1} \right) \in \left( { - \dfrac{{13}}{8};0} \right)\), \(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 0\), \(g\left( { - 1} \right) = f\left( 2 \right) =  - 4\).

\( \Rightarrow k = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]} g\left( x \right) =  - 4,\,\,K = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]} g\left( x \right) = 0\).

Vậy \(k + K =  - 4 + 0 =  - 4.\)

Chọn D.