Lời giải chi tiết:

Đặt \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\) ta có \(f\left( x \right) \le 4\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right] \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) \le 4\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m\) ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;3} \right]\\x = 2 \in \left[ {1;3} \right]\end{array} \right.\).

Ta có \(g\left( 1 \right) = m - 2,\,\,g\left( 3 \right) = m,\,\,g\left( 2 \right) = m - 4\) \( \Rightarrow g\left( 2 \right) < g\left( 1 \right) < g\left( 3 \right)\).

BBT:

TH1: \(m - 4 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 4\), khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = m \le 4\) \( \Leftrightarrow m = 4\).

TH2: \(m - 4 < 0 \le m - 2 \Leftrightarrow 2 \le m < 4\), khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ { - m + 4;m} \right\}\).

Ta có \(m \ge 2 \Leftrightarrow m + m \ge 4 \Leftrightarrow m \ge  - m + 4\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = m \le 4\).

\( \Rightarrow 2 \le m < 4\).

TH3: \(m - 2 < 0 \le m \Leftrightarrow 0 \le m < 2\), khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ { - m + 4;m} \right\}\).

Ta có \(m < 2 \Rightarrow m + m < 4 \Leftrightarrow m <  - m + 4\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) =  - m + 4 \le 4 \Leftrightarrow m \ge 0\).

\( \Rightarrow 0 \le m < 2\).

TH4: \(m < 0\) , khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) =  - m + 4 \le 4 \Leftrightarrow m \ge 0\)  (Vô nghiệm).

Kết hợp các trường hợp ta có \(m \in \left[ {0;4} \right]\).

Vậy có 5 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.