Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm \(g'\left( x \right)\), giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Dựa vào tương giao đồ thị hàm số xác định nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\), lấy các nghiệm thuộc \(\left[ { - 3;3} \right]\)

- Tính giá trị hàm số tại các nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\), so sánh và suy ra GTNN của hàm số trên \(\left[ { - 3;3} \right]\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {x - 1} \right)\); \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số thấy \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3 \in \left[ { - 3;3} \right]\\x = 1 \in \left[ { - 3;3} \right]\\x = 3 \in \left[ { - 3;3} \right]\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = 2f\left( 1 \right) \in \left( { - 1;0} \right)\\g\left( 3 \right) = 2f\left( 3 \right) - 4 = 0\,\,\left( {Do\,\,f\left( 3 \right) = 2} \right)\\g\left( { - 3} \right) = 2f\left( { - 3} \right) - 16 =  - 24\,\,\left( {Do\,\,f\left( { - 3} \right) =  - 4} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 3} \right)\). 

Chọn A.