Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)

Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\) ta có:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2};\,\,1} \right\}.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \dfrac{1}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\) là đường TCN của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \dfrac{{x - 2}}{{2x - 1}} =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} \dfrac{{x - 2}}{{2x - 1}} =  + \infty \)

\( \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\) là một đường TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 2}}{{2x - 1}} =  - 1\)

\( \Rightarrow x = 1\) không là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận.

Chọn B.