Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}} =  - \infty \) \( \Rightarrow x = 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Chọn A.