Câu hỏi
Trong không gian \(Oxyz,\) vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 4 - 3t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \(\left( {{d_2}} \right):\,\,\,\dfrac{{x - 5}}{3} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}\) là:
- A Cắt nhau
- B Trùng nhau
- C Chéo nhau
- D Song song
Phương pháp giải:
Cho hai đường thẳng: \({d_1}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \) và đi qua điểm \({M_1};\) \({d_2}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} \) và đi qua điểm \({M_2}.\)
+) \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0\end{array} \right..\)
+) \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\end{array} \right..\)
+) \({d_1}\) và \({d_2}\) song song \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\{M_1} \notin {d_2}\end{array} \right..\)
+) \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\{M_1} \in {d_2}\end{array} \right..\)
+) \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\,\,\overrightarrow {{u_2}} = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 4 - 3t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 3;\,\,2} \right)\) và đi qua \({M_1}\left( {1; - 4;\,\,3} \right)\)
\(\left( {{d_2}} \right):\,\,\,\dfrac{{x - 5}}{3} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;\,\,2; - 3} \right)\) và đi qua \({M_2}\left( {5; - 1;\,\,2} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {5;\,\,12;\,\,13} \right) \ne \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow \) \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ta có: \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {4;\,\,3;\, - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 4.5 + 3.12 - 13 = 43 \ne 0\)
\( \Rightarrow {d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
Chọn C.
Câu hỏi trước
