Phương pháp giải:

- Tìm bán kính đáy của hình trụ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD.

- Tìm chiều cao hình trụ chính là chiều cao hình chóp ABCD.

- Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: \(S = 2\pi Rh\)

Lời giải chi tiết:

Tam giác BCD là tam giác đều cạnh 4\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S_{BCD}} = 4\sqrt 3 \\p = 12\end{array} \right.\)

 Áp dụng cồn thức tính bán kính đường tròn nội tiếp ta có:\(R = \frac{{2S}}{p} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Gọi O là tâm của tam giác đều BCD

\( \Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow \Delta ABO\) vuông tại O có \(BO = \frac{{4\sqrt 3 }}{3};AB = 4 \Rightarrow AO = h = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\)

Khi đó diện tích xung quanh hình trụ có \(h = \frac{{4\sqrt 6 }}{3};R = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) là \(S = 2\pi Rh = \frac{{16\sqrt 2 \pi }}{3}\)

Chọn A.