Phương pháp giải:

Dựa vào định ngĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số khi thỏa mãn một trong các điều kiện: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\).

- Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số khi thỏa mãn một trong các điều kiện: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \).

Lời giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  + \infty \).

Đặt \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} =  - \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{2}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = 0\) \( \Rightarrow x =  - 1\) không là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\).

Xét phương trình \(f\left( x \right) = 0\), dựa vào BBT ta thấy phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn khác \( - 1\).

Do đó đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) có 2 TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) có tất cả 4 đường tiệm cận.

Chọn A.